คณิตศาสตร์ของแรงดันไฟฟ้า AC ของ ไฟฟ้ากระแสสลับ

คลื่นไซน์มากกว่าหนึ่งรอบ (360 °) เส้นประแสดงให้เห็นถึงค่า root mean square (RMS) ที่ประมาณ 0.707 ของค่าสูงสุด (peak)

กระแสสลับไปด้วยกัน (หรือเกิดจาก) กับแรงดันไฟฟ้า แรงดันไฟฟ้ากระแสสลับ v สามารถอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นฟังชั่นของเวลาโดยสมการต่อไปนี้:

v ( t ) = V p e a k ⋅ sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle v(t)=V_{\mathrm {peak} }\cdot \sin(\omega t)}

เมื่อ

  • V p e a k {\displaystyle \displaystyle V_{\rm {peak}}} เป็นค่า peak voltage (หน่วย: โวลต์)
  • ω {\displaystyle \displaystyle \omega } เป็น ความถี่เชิงมุม (unit: เรเดียนต่อวินาที)
    • ความถี่เชิงมุมสัมพันธ์กับความถี่ทางกายภาพ, f {\displaystyle \displaystyle f} (หน่วย = เฮิรตซ์), มีหน่วยเป็นจำนวนรอบต่อวินาที, ตามสูตร ω = 2 π f {\displaystyle \displaystyle \omega =2\pi f} .
  • t {\displaystyle \displaystyle t} เป็นเวลา (หน่วย: วินาที).,

ค่า peak-to-peak ของแรงดันไฟฟ้า AC ถูกกำหนดให้เป็นความแตกต่างระหว่างจุดสูงสุดด้านบวกและจุดสูงสุดด้านลบ เนื่องจากค่าสูงสุดของ sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} คือ +1 และค่าต่ำสุดคือ -1, แรงดัน AC จะขึ้นลงระหว่าง + V p e a k {\displaystyle +V_{\rm {peak}}} และ − V p e a k {\displaystyle -V_{\rm {peak}}} แรงดันไฟฟ้า peak-to-peak ปกติจะถูกเขียนว่า V p p {\displaystyle V_{\rm {pp}}} หรือ V P − P {\displaystyle V_{\rm {P-P}}} เพราะฉะนั้น V p e a k − ( − V p e a k ) = 2 V p e a k {\displaystyle V_{\rm {peak}}-(-V_{\rm {peak}})=2V_{\rm {peak}}} .


กำลังงานและค่า root mean square

ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันไฟฟ้าและกำลังงานคือ

p ( t ) = v 2 ( t ) R {\displaystyle p(t)={\frac {v^{2}(t)}{R}}}

เมื่อ R {\displaystyle R} แทนความหมายเป็นโหลดความต้านทานแทนที่จะใช้กำลังงานในจุดใดจุดหนึ่ง p ( t ) {\displaystyle p(t)} ในทางปฏิบัติ จะใช้กำลังงานในเวลาเฉลี่ย (ที่ ๆ ค่าเฉลี่ยจะถูกกระทำในจำนวนเต็มรอบใด ๆ) ดังนั้นแรงดันไฟฟ้า AC มักจะแสดงเป็นค่า root mean square (RMS) เขียนเป็น V r m s {\displaystyle V_{\rm {rms}}} ดังนั้น

P t i m e   a v e r a g e d = V 2 r m s R . {\displaystyle P_{\rm {time~averaged}}={\frac {{V^{2}}_{\rm {rms}}}{R}}.}

สำหรับแรงดันไฟฟ้ารูปซายน์:

V r m s = V p e a k 2 . {\displaystyle V_{\mathrm {rms} }={\frac {V_{\mathrm {peak} }}{\sqrt {2}}}.}

ค่า 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ถูกเรียกว่า crest factor แตกต่างกันตามรูปคลื่นที่แตกต่างกัน

  • สำหรับรูปคลื่นสามเหลี่ยมศูนย์กลางอยู่รอบ ๆ ค่าศูนย์
V r m s = V p e a k 3 . {\displaystyle V_{\mathrm {rms} }={\frac {V_{\mathrm {peak} }}{\sqrt {3}}}.}
  • สำหรับรูปคลื่นสี่เหลี่ยมศูนย์กลางอยู่รอบ ๆ ค่าศูนย์
V r m s = V p e a k . {\displaystyle \displaystyle V_{\mathrm {rms} }=V_{\mathrm {peak} }.}
  • สำหรับรูปคลื่นเป็นระยะ ๆ ของเวลา
v ( t ) {\displaystyle v(t)} of period T {\displaystyle T} : V r m s = 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t . {\displaystyle V_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{v^{2}(t)dt}}}.}

ตัวอย่าง

เพื่อแสดงให้เห็นถึงแนวคิดเหล่านี้ พิจารณาไฟ 230 โวลต์ ที่ใช้ในหลายประเทศทั่วโลก เพราะค่า RMS = 230 V หมายความว่ากำลังงานเฉลี่ยตามเวลา เทียบเท่ากับกำลังงานที่ส่งมาจากแรงดัน DC 230 โวลต์จารณาถึงค่าแรงดันไฟฟ้าสูงสุด (แอมปลิจูด) เราสามารถจัดเรียง สมการข้างต้นใหม่ว่า :

V p e a k = 2   V r m s . {\displaystyle V_{\mathrm {peak} }={\sqrt {2}}\ V_{\mathrm {rms} }.}

สำหรับไฟฟ้ากระแสสลับ 230 โวลต์ แรงดันไฟฟ้าสูงสุดจึงเป็น V p e a k {\displaystyle \scriptstyle V_{\mathrm {peak} }} หรือประมาณ 325 V ค่า peak-to-peak V P − P {\displaystyle \scriptstyle V_{\mathrm {P-P} }} ของ 230 V AC เป็นสองเท่าหรือประมาณ 650 โวลต์

ใกล้เคียง